Заряженный шар

Электростатическое поле, создаваемое во всем пространстве заряженным по объёму диэлектрическим шаром в вакууме, является одной из опорных моделей прикладной электродинамики.

Рассмотрим напряженность электростатического поля диэлектрического шара (Рис.1) радиуса , равномерно заряженного по всему объему с постоянной объёмной плотностью заряда в некоторой точке . Система находится в вакууме.

Объемная плотность заряда представляет собой заряд единицы объема диэлектрика , т.е. имеет размерность .

Если заряды распределены по поверхности (например, проводника), то говорят о поверхностной плотности заряда , которая имеет размерность . Поверхностная плотность заряда представляет собой электрический заряд единицы площади рассматриваемой поверхности.

В отличие от проводников, внутри которых поле равно нулю (), поле такого шара отлично от нуля внутри шара, например в точке (см. Рис. 1).

В данном задании вам предстоит описать поле заряженного шара в окружающем пространстве и рассмотреть некоторые его приложения.

Для описания электростатических полей удобно использовать телесный угол. Телесный угол () — часть пространства, ограниченная лучами, выходящими из некоторой точки (Рис. 2).

Единицей измерения телесного угла является стерадиан («стерео радиан»): . По аналогии с плоским углом, в качестве меры телесного угла берется безразмерное отношение площади вырезанного сферического сегмента к квадрату радиуса описанной окружности. Для малых телесных углов справедлива формула

. (2)

Диполем называется система из двух электрических зарядов, одинаковых по величине, но разных по знаку (). Заряды находятся на малом фиксированном расстоянии (плечо диполя, ) друг от друга (Рис. 3).

Действиями силы тяжести и сил трения и сопротивления воздуха в данной задаче пренебречь.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: электрическая постоянная ; объем шара ; .

Часть 1. Поле шара

При вычислении напряженности электростатического поля «сложных» заряженных систем достаточно часто используется принцип суперпозиции электрических полей более «простых» систем, поля которых хорошо известны.

1. Рассмотрим тонкую сферу (Рис. 4) некоторого радиуса , равномерно заряженную с поверхностной плотностью (). Докажите, что для такой сферы, равномерно заряженной по поверхности, напряженность электростатического поля внутри неё () равна нулю () в любой точке.
2. Рассмотрим диэлектрический шар (Рис. 5) некоторого радиуса , равномерно заряженный с положительной объемной плотностью (). Найдите зависимость проекции на ось напряжённости электростатического поля в некоторой точке (см. Рис. 5) внутри такого шара () , как функцию расстояния от его центра . Укажите максимальное значение полученной зависимости на данном интервале ().
3. Найдите зависимость проекции на ось напряжённости электростатического поля вне такого шара (), равномерно заряженного по всему объему, как функцию расстояния от его центра . Укажите максимальное значение полученной зависимости на данном интервале () и сравните его с .
4. Для построения суммарного графика полученных зависимостей введем безразмерные величины: для напряженности , для расстояния . Рассчитайте значения и внесите их в Таблицу 1 (см. Лист ответов). По точкам из Таблицы 1 на Бланке 1 (см. Лист ответов) постройте график полученной зависимости .

Часть 2. Пролеты через шар

Далее рассмотрим неподвижный, равномерно заряженный по объему диэлектрический шар, поле которого вы описали в пунктах 1.2 — 1.4. Предположим, что вдоль диаметра шара просверлен достаточно тонкий канал, через который могут свободно пролетать небольшие заряженные объекты (Рис. 6).

1. Частицу массой , с отрицательным зарядом (по модулю), удерживают в точке на оси на расстоянии от центра шара (см. Рис. 5). В некоторый момент времени () частицу отпускают, и под действием электростатического поля шара она начинает двигаться. Через какой промежуток времени частица окажется на противоположном конце диаметра в точке ?
2. Какую максимальную скорость разовьет частица при движении? В какой точке траектории она будет достигаться?
3. С каким максимальным ускорением будет двигаться частица при своём движении? В каких точках траектории оно будет достигаться?
4. Диполь, состоящий из двух шариков массой каждый, удерживают в точке на оси на расстоянии от центра шара (см. Рис. 7). Заряды шариков равны по модулю . В некоторый момент времени () диполь отпускают, и под действием электростатического поля шара он начинает втягиваться в шар. Укажите знаки заряда каждого из шариков (ближнего к шару и дальнего). Через какой промежуток времени диполь окажется на противоположном конце диаметра в точке ?
5. Какую максимальную скорость разовьет диполь при движении? В какой точке траектории она будет достигаться?
6. Какое максимальное ускорение разовьет диполь при движении? В какой точке траектории оно будет достигаться?